（浙江版）2020年高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理（讲解）

（浙江版）2020年高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理（讲解） 第四章 三角函数与解三角形 正弦定理和余弦定理 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用. 2.高考预测： （1）正弦定理或余弦定理独立命题； （2）正弦定理与余弦定理综合命题； （3）与三角函数的变换结合命题； （4）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查. 3.备考重点： （1）掌握正弦定理、余弦定理； （2）掌握几种常见题型的解法. 知识点1．正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题． 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 【典例1】（2019·全国高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=_____. 【答案】. 【解析】 由正弦定理，得．，得，即，故选D． 【总结提升】 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 【变式1】（2018届浙江省嘉兴市高三上期末）在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】因为，所以 因为锐角，所以 知识点2．余弦定理 余弦定理： ， ，. 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 【典例2】（2019·北京高考真题（文））在△ABC中，a=3，，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B+C）的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理可得， 因为，所以；因为，所以解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以； 因为为的内角，所以. 因为. 【总结提升】 应用余弦定理解答两类问题： 【变式2】（2019·北京高考模拟（理））已知在△中，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得 因为角为三角形内角 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 = = = = = = 的最大值是1 考点1 正弦定理 【典例3】（2019·北京高考模拟（理））在中，已知BC=6，AC=4，，则∠B=_____． 【答案】 【解析】 ∵BC=6，AC=4，，由正弦定理，得：sinB=， ∵AC＜BC，∴得B为锐角，所以B=． 故答案为：． 【思路点拨】 由正弦定理可求sinB的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值．忽视角的范围，易于出错. 【变式3】（2019·北京人大附中高考模拟（理））在三角形ABC中, ,则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】 由正弦定理得或，选D. 考点2 余弦定理 【典例4】（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 【总结提升】 已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解. 已知两边和夹角，余弦定理求出对对边. 【变式4】（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为 所以，选A. 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用 【典例5】（2019·全国高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 ... ...