（浙江版）2020年高考数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示（讲解）

（浙江版）2020年高考数学一轮复习：平面向量的基本定理及坐标表示（讲解） 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量的基本定理及坐标表示 1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算. 4.高考预测： （1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； （2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 5.备考重点： (1) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键； (2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 知识点1．平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【典例1】【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上学期期末】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的 取值范围为_____． 【答案】 【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又， 所以， 所以 ，，故的取值范围. 【易错提醒】 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【变式1】（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由平面向量基本定理，化简 ，所以，即， 故选：A． 知识点2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (2)若，则． 3．平面向量的坐标运算 (1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，. 【典例2】【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则_____． 【答案】-3 【解析】 设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则. 故答案为-3. 【总结提升】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 【变式2】（2019·吉林高考模拟（理））已知向量，其中，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】 因为， 所以， 因为，所以，故的最小值为. 故选A 知识点3．平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 若，则?. 【典例3】【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为_ ． 【答案】 【解析】 设，，则于是，同理，于是我们可以得到 . 即，所以Q点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以 【规律方法】 平面向量共线的 ... ...