2.1.1 指数与指数幂的运算 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 2.1.1　指数与指数幂的运算 1.根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N . (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 2.根式的性质 (1)＝0(n∈N ，且n＞1)； (2)()n＝a(n∈N ，且n＞1)； (3)＝a(n为大于1的奇数)； (4)＝|a|＝(n为大于1的偶数). 3.分数指数幂 (1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a＞0，m、n∈N ，且n＞1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a＞0，m、n∈N ，且n＞1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 4.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 类型一　n次方根的概念问题 【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_____.[] (2)若有意义，则实数a的取值范围是_____. 解析　(1)依题意，a＝±＝±9，b＝＝－2. ∴a＋b＝－11或a＋b＝7. (2)由于根指数是3，只需有意义，∴a－3≠0，故a的取值范围是{a|a≠3}. 答案　(1)－11或7　(2){a|a≠3} 【训练1】 (1)若x4＝3，则x＝_____. (2)设m＜0，则()2＝_____. 解析　(1)依题意，x是3的4次方根，∴x＝±. (2)∵m＜0，∴－m＞0，∴()2＝－m. 答案　(1)±　(2)－m 类型二　根式的化简与求值 【例2】 (1)化简＋； (2)求值＋. 解　(1)原式＝＋＝－2－(＋2)＝－4. (2)＋＝＋ ＝＋＝＋＋2－＝2＋. 【训练2】化简＋. 解　＋ ＝＋1＋|1－|＝＋1＋－1＝2. 类型三　有限制条件的根式运算 【例3】 (1)若x<0，则x＋|x|＋＝_____； (2)若代数式＋有意义， 化简＋2. (1)解析　当x<0时，x＋|x|＋ ＝x－x＋＝＝－1. 答案 －1 (2) 解 由＋有意义，则即≤x≤2. 故＋2 ＝＋2 ＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 【训练3】 设－3＜x＜3，求－的值. 解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时， 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4， ∴原式＝ 类型四　根式与分数指数幂的互化 【例4】 (1)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A.a B.a C.a D.a (2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A.－＝(－x)(x>0) B.＝y(y<0)[] C.x－＝(x>0) D.x－＝－(x≠0) 解析　(1)＝＝ ＝＝a2－＝a. (2)选项A中，当x >0时，(－x)无意义，不正确. B中，＝y＝(－y)(y<0)，B不正确. C中，x－＝＝(x>0)正确. D中，x－＝＝≠－(x≠0)，不正确.[] 答案　(1)D　(2)C 【训练4】 将下列各式化为分数指数幂的形式： (1)(x>0)；(2)(a>0，b>0). 解　(1)原式＝＝＝＝. (2)原式＝[ab3(ab5)]＝[a·ab3(b5)]＝(ab)＝ab. 类型五　利用分数指数幂运算性质化简与求值[] 【例5】计算： (1)ab·÷； (2)(0.064)－－＋＋|－0.01|. 解　(1)原式＝a＋－b＋－＝－9a. (2)原式＝(0.43)－－1＋＋(0.12) ＝0.4－1－1＋＋0.1＝. 【训练5】 化简求值： (1)··； (2)×＋8×－. 解　(1)原式＝5··x－－1＋y＋－ ＝x－y. (2)原式＝×1＋2·2－ ＝＋21－＝＋2－＝2. 类型六　相关式的求值 【例6】 已知a＋a＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值. 解　∵a＋a＝3， ∴两边平方得：a＋a－1＋2a＋＝9， 故a＋a－1＝7. 将a＋a－1＝7两边平方得a2＋a－2＋2a·a－1＝49. 因此a2＋a－2＝47. 【训练6】已知x＋x－1＝7，求值： (1)x＋x－；(2)x－x－. 解　(1)设m＝x＋x－，两边平方得m2＝x＋x－1＋2x·x－＝7＋2＝9.又m>0， ... ...