中小学教育资源及组卷应用平台 9高考大题专练之立体几何计算题（非向量法） 1．如图，四棱锥中，平面平面ABCD，E为线段AD的中点，且．．． （1）证明：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【详解】 （1）证明：∵，E是AD的中点，∴， 又∵平面平面ABCD，平面平面， ∴平面ABCD，又平面ABCD， ∴，又，， ∴平面PBE，又平面PAC， ∴平面平面PAC． （2）解：由（1）知平面PBE，故， ∵， ∴四边形BCDE是平行四边形，∴， ∴， ∵，，∴， ∴，即，∴． ∴． 2．如图,正方体中． (Ⅰ)求与所成角的大小； (Ⅱ)求二面角的正切值． 【解析】(I)连接B1C，则易证B?1C//A1D,所以就是异面与所成角,然后解三角形求此角即可. (II)连接BD交AC于O点，则易证就是二面角的平面角，然后再直角三角形B1BO中求此角即可. (Ⅰ)在正方体中, --1 ∴A1B1CD为平行四边形,∴,-- 2 所以∠ACB1或其补角即异面直线与所成角………………3 设正方形边长为 在中,AC=B1A=B1C=,………………………….5 ∴∠ACB1= 所以异面直线与所成角为……………………………..6 (Ⅱ)连结BD交AC于O,连结B1O,…………………………………….7 ∵O为AC中点, B1A=B1C,BA=BC ∴B1O⊥AC,BO⊥AC………………………………….9 ∴∠B1OB为二面角的平面角.--10 在中, B1B=,BO=--12 ∴∠B1OB= 故二面角的正切值为--13. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面⊥底面 （1）求证：⊥平面 （2）求直线与底面所成角的余弦值； （3）设，求点到平面的距离. 【解析】 试题分析：（1）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD, ∵平面PAD⊥底面ABCD，AB底面ABCD，底面ABCD∩平面PAD=AD，∴AB⊥平面PAD. （2）取AD的中点F，连结AF，CF，∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD， ∴PF⊥平面BCD，∴CF是PC在平面ABCD上的射影， ∴∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角 （3）设点D到平面PBC的距离为h， 在△PBC中，易知PB=PC=， 又 即点D到平面PBC的距离为 4．如图，在正方体中，是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的大小． 【详解】 (1)证明：如图，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1， ∵O、O1分别是AC和D1C的中点， ∴OO1∥AD1. 又OO1?平面DOC1，AD1?平面DOC1， ∴AD1∥平面DOC1. (2)由OO1∥AD1知，AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．设正方体的棱长为1. 在△OO1D中，DO1＝，DO＝，OO1＝AD1＝， ∴△OO1D是等边三角形． ∴异面直线AD1与DC1所成的角为60°. 5．四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面所成的角为， 求二面角的余弦值． (I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且OBC 中点，由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD， 由三垂线定理知，AD⊥CE--4分 （II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧 面ABC。 作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE故∠CEF为CE与平面ABE所成的角， ∠CEF=45°，由CE=，得CF= 又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形作CG⊥AD，垂足为G，连GE。 由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C， 故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。 CG= GE= cos∠CGE= 所以二面角C-AD-E的余弦值为--12分 6．四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知 ∠ABC = 45°AB=2，BC=，SA=SB = （Ⅰ）证明SA⊥BC； （Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小. 【解析】（I）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC. （II）由（I）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由AD=BC=2，SA=，AO=，得 SO=1，. △SA ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
