高二数学人教A版选修4-5教案：1.2.1绝对值三角不等式

1.2.1绝对值三角不等式 一、教学目标 1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理． 2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值． 二、课时安排 1课时 三、教学重点 理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理． 四、教学难点 会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值． 五、教学过程 （一）导入新课 |x＋1|＋|2－x|的最小值是_____. 【解析】　∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3， 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号． 因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3. 【答案】　3 （二）讲授新课 教材整理1　绝对值的几何意义 1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为 的点A到 的距离． 2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的 ，即线段AB的 教材整理2　绝对值三角不等式 1．定理1　如果a，b是实数，则|a＋b|≤ ，当且仅当 时，等号成立． 2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是 ． 教材整理3　三个实数的绝对值不等式 定理2　如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤ ＋|b－c|，当且仅当时，等号成立． （三）重难点精讲 题型一、运用绝对值不等式求最值与范围 例1对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围． 【精彩点拨】　令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin. 【自主解答】　法一　对x∈R，|x＋1|＋|x＋2| ≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号． ∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]． 法二　t＝|x＋1|＋|x＋2|＝ ∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]． 规律总结： 1．本题也可利用绝对值的几何意义求解． 2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值． [再练一题] 1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围． 【解】　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3. 因为f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a， 当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.① 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解． 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 题型二、含绝对值不等式的证明 例2　设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2. 【精彩点拨】　不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明． 【自主解答】　依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1. 又|x|>m， ∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|. 因此≤＋ ＝＋<＋＝2，即<2. 规律总结： 1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键． 2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度． [再练一题] 2．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1). 【证明】　|f(x)－f(a)| ＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)| ＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1| ＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|. 又|x－a|<1， ∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1| ≤|x－a|＋|2 ... ...