中小学教育资源及组卷应用平台 14高考大题专练之解析几何面积问题 1．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与轴的交点为．过点作圆的两条切线，两切点分别为，，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）如图，过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线，，分别交抛物线于，两点和，两点，，分别为线段和的中点，求面积的最小值． 【解析】（1）由对称性知，轴，设与轴的交点为，则． 连，则中，，则 因为为圆的切线，则．由射影定理，得，则 因为圆心的坐标为，则，所以，即，得． 所以抛物线的标准方程为 （2）设直线的斜率为，因为过焦点，则直线的方程为．代入，得 ．设点，，则．因为为线段的中点，则点 因为，则直线的方程为．同理可得点 直线的方程为，即，显然过定点 设的面积为，与轴的交点为，则 ，当且仅当时取等号．所以的面积的最小值为 2.已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点 （1）求的方程 （2）设过点的动直线与相交于两点，当面积最大时，求的方程 解：（1）设 （2）设直线， 联立方程可得：，整理后可得： ，因为方程有两个不等实根 解得：或 由方程可得： 代入可得： 由均值不等式可得： 等号成立条件： 此时 的方程为或 3．如图，A 为椭圆的下顶点，过 A 的直线 l 交抛物线于B、C 两点，C 是 AB 的中点． （I）求证：点C的纵坐标是定值； （II）过点C作与直线 l 倾斜角互补的直线l交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大． 【解析】（Ⅰ）易知，不妨设，则， 代入抛物线方程得： ，得：，为定值. （Ⅱ）点是中点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程：，即， 不妨记，则： 代入椭圆方程整理得：， 设，则 ，， ， 到的距离， 所以 . 取等号时，，得，所以，. 4.已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为 （1）求椭圆的方程 （2）若是椭圆上的四点，已知与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值 解：（1），设，则 （2）由（1）可得：，因为 设，， 联立方程可得：，消去可得： 整理后可得： ① 设，以替换①中的可得： 设，可得 时， 5．在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在轴上滑动，点M在线段AB上，且, （1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程； （2）过点的直线与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求面积的最大值. 【解析】（1）由题知，设 有代入得， 所以曲线C的方程是 （2）当直线的斜率不存在时，即，此时 当直线的斜率存在时，设， 联立，有. 由题知过N的直线，且与椭圆切于N点时，最大，故设 联立与椭圆方程得，此时 的距离，所以 化简 设，有 ，所以函数在上单调递减，当时，函数取得最大值，即时 综上所述. 6.在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足 （1）求点的轨迹方程 （2）若是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点，问：是否存在点使得和的面积满足？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。 （1）思路：本题设点，且已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设，由可得： ，依题意可得： 整理后可得： ，其中 所以的轨迹方程为‘ （2）思路：从图中可得和的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即，再由可得，进而，由共线再转成向量关系则只需求出的坐标即可解出的坐标 解：设 ，即 因为 可解得 且 ，即 所以存在符合条件的 7.已知椭圆： 的离心率为，且过点， ， 是椭圆上异于长轴端点的两点. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值. 【解析】（1）依题意解得 故椭圆的方程为. （2）设直线与轴相交于点 ， ， 由于且， 得， ... ...
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