北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第2讲 勾股定理逆定理(基础)

勾股定理的逆定理（基础） 【学习目标】 1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别； 2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形； 3. 理解勾股数的含义； 4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 【要点梳理】 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长/，满足/，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 首先确定最大边（如/）. 验证/与/是否具有相等关系.若/，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若/，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当/时，此三角形为钝角三角形；当/时，此三角形为锐角三角形，其中/为三角形的最大边. 要点三、勾股数 满足不定方程/的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以/为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果/是勾股数，当/为正整数时，以/为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）/（/是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）/（n≥1，/是自然数）是直角三角形的三条边长； （3）/ （/是自然数）是直角三角形的三条边长； 【典型例题】 类型一、勾股定理的逆定理 /1、判断由线段/组成的三角形是不是直角三角形． （1）/＝7，/＝24，/＝25； （2）/＝/，/＝1，/＝/； （3）/，/，/(/)； 【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形． 【答案与解析】 解：（1）∵ /，/， ∴ /． ∴ 由线段/组成的三角形是直角三角形． （2）∵ /，/，/， ∴ /． ∴ 由线段/组成的三角形不是直角三角形． （3）∵ /， ∴ /，/． ∵/， /， ∴ /． ∴ 由线段/组成的三角形是直角三角形． 【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证/与/是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形． 举一反三： 【变式】（2018春?安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（　　） 　 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【答案】C. 解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形； ②∵52+122=132，∴能组成直角三角形； ③122+152≠202，∴不能组成直角三角形； ④72+242=252，∴能组成直角三角形． 故选C． /2、（2019春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． / 【思路点拨】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积． 【答案与解析】 解：连接AC，在△ABC中， 因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， 所以/，所以AC＝5， 在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5， 所以/， 即/． 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°． 所以/ //． / 【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察． 类型二、勾股定理逆定理的应用 /3、已知：/为/的三边且满足/，试判断/的形状. 【答案与解析】 解：∵/ ∴/ / ∴/，/ ∴△ABC是直角三角形. 【总结 ... ...