高三理科数学一轮复习讲义，复习补习资料：第四章三角函数与解三角形4.7正弦定理和余弦定理

§4.7　正弦定理和余弦定理 考纲展示?　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题． 考点1　利用正、余弦定理解三角形 / 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 / 正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝_____＝ _____＝2R a2＝_____； b2＝_____； c2＝_____ 续表 定理 正弦定理 余弦定理 常见 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝_____， c＝_____； (2)sin A＝，sin B＝_____，sin C＝； (3)a∶b∶c＝_____； (4)asin B＝bsin A①， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝_____； cos B＝_____； cos C＝_____ / (1)[教材习题改编]在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠A＋∠C＝(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° (2)[教材习题改编]在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝75°，c＝20，则a＝_____. / 解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边． (1)在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝30°，则c＝_____. (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，sin A＝，b＝，则a＝_____. (3)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶4∶3，则cos C＝_____. / [典题1]　[2019·山师大附中一模]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [点石成金]　1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 2．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. / 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 考点2　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 / 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 / 三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数的误区． (1)在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系是_____． (2)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于_____． 注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况． / 判断三角形的形状． 利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：(1)把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2)把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断． / [典题2]　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 [题点发散1]　若将本例条件改为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 [题点发散2]　若将本例条件改为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC的形状． [题点发散3]　若将本例条件改为“若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 [题点发散4]　若将本例条件改为“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断三角形的形状． ． [题点发散5]　若将本例 ... ...