§5.3 平面向量的数量积 考纲展示? 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 考点1 平面向量的数量积的运算 / / 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角． (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则_____ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_____的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝_____(分配律)． / (1)[教材习题改编]在△ABC中，·>0，则△ABC是_____三角形． (2)[教材习题改编]在?ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，则·＝_____. / 与平面向量的数量积有关的易错点：投影；向量夹角；运算律． 下列说法正确的有_____个． ①向量b在向量a方向上的投影是向量； ②若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角； ③(a·b)·c＝a·(b·c)； ④若a·b＝0，则a＝0或b＝0. / [典题1] (1)[2019·四川成都模拟]在△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝90°，则·＝( ) A．1 B．－ C. D．－ (2)[2019·安徽合肥联考]已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为_____． [点石成金] 向量数量积的两种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|· |b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 / 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_____；·的最大值为_____． 考点2 平面向量数量积的性质 / / 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝_____. (2)模：|a|＝＝_____. (3)夹角：cos θ＝＝ . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?_____. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·. / (1)[教材习题改编]已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则a与b的夹角θ＝_____. (2)[教材习题改编]已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝_____. / 平面向量数量积的常用结论． (1)对任意向量a和b，(a＋b)·(a－b)＝_____. (2)对任意向量a和b，(a＋b)2＝_____. (3)若两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b_____0. (4)若两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b_____0. / [考情聚焦] 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题． 主要有以下几个命题角度： 角度一 平面向量的模 [典题2] (1)[2018·浙江模拟]已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝_____. (2)[2019·河北石家庄模拟]已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝_____. 角度二 平面向量的夹角 [典题3] (1)[2019·湖南衡阳八中高三月考]若向量a，b的夹角为，且|a|＝2，|b|＝1，则a与a＋2b的夹角为( ) A. B. C. D. (2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝_____. 角度三 平面向量 ... ...
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