1.6 三角函数模型的简单应用 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 学案 三角函数模型应用 知识梳理 1．三角函数的周期性 y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝_____； y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝_____； y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝_____. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质 (1)ymax＝_____，ymin＝_____. (2)A＝_____，k＝_____. (3)ω可由_____确定，其中周期T可观察图象获得． (4)由ωx1＋φ＝_____，ωx2＋φ＝_____，ωx3＋φ＝_____，ωx4＋φ＝_____，ωx5＋φ＝_____中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中_____现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 4.三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决. 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题. 这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式。 类型一 函数解析式与图象的对应问题 【例1】函数y＝sin|x|的图象是 归纳 （1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项. 函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据. 变式训练1 函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象是 类型二　从实际问题中提炼三角函数模型 例2　如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式． 归纳　如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型． 变式训练2　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时． (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 类型三　三角函数模型在物理学科中的应用 例3　弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.? （1）求小球开始振动的位置； （2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； （3）经过多长时间小球往返振动一次?? （4）每秒内小球能往返振动多少次? 归纳　三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题． 变式训练3　如图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象． (1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？ 类型四　三角函数模型在实际问题中的应用 例4　已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据. t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b. （1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正 ... ...