求函数的定义域 【例1】 (1)求函数y＝＋－的定义域； (2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域． [解] (1)解不等式组得 故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}． (2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)， 所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为. 1．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． 2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． 1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是( ) A. B. C. D.∪ D [由得x<1且x≠，故选D.] 求函数的解析式 【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为_____； (2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为_____． (1)f(x)＝ (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ (2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．] 求函数解析式的题型与相应的解法 ?1?已知形如f?g?x??的解析式求f?x?的解析式，使用换元法或配凑法. ?2?已知函数的类型?往往是一次函数或二次函数?，使用待定系数法. ?3?含f?x?与f?－x?或f?x?与，使用解方程组法. ?4?已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝_____. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图像关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0. 求函数f(x)的解析式． (1)x＋ [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.] (2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－＝－1即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且＝0， 即b2＝4ac，由以上可求得a＝，b＝，c＝， 所以f(x)＝x2＋x＋. 函数的性质及应用 【例3】 已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数． [思路点拨] (1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值； (2)用单调性的定义求解． [解] (1)由题意，得∴ 故f(x)＝. (2)任取－10,1＋x>0. 又－10， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数． 1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. [解] 由f(t－1)＋f(t)<0得 f(t－1)<－f(t)＝f(－t)． ∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1f?x2?的形式. ?2?根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解. 函数的应用 【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD) (1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？ [思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解 ... ...
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