第2章 5（2） 简单的幂函数(二)

§5　简单的幂函数(二) 学习目标　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题． 知识点一　函数奇偶性的几何特征 思考　下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称． 梳理　一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数． 知识点二　函数奇偶性的定义 思考1　为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 答案　因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断． 思考2　利用点对称来刻画图像对称有什么好处？ 答案　好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然． (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作． 梳理　函数奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图像上． (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫作奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)图像上． (3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称． 知识点三　奇偶性与单调性 思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 答案　偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同． 梳理　(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量． 1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图像．(　×　) 2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(　√　) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(　√　) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(　√　) 类型一　判断函数的奇偶性 例1　判断并证明下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝(x＋1)(x－1)； (3)f(x)＝＋. 考点　函数奇偶性的判定与证明 题点　判断简单函数的奇偶性 证明　(1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既非奇函数又非偶函数． (2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数． (3)函数的定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数． 反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域． 跟踪训练1　判断并证明下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－2)； (2)f(x)＝x|x|； (3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性． 考点　函数奇偶性的判定与证明 题点　判断函数的奇偶性 解　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数． (3)∵f ... ...