§3 指数函数(一) 学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图像和性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域． 知识点一 指数函数 思考 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？ 答案 y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来． 梳理 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. (2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数． 知识点二 指数函数的图像和性质 思考 函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？ 答案 函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般． 梳理 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质： a>1 0
0时，y>1； x<0时，00时，01 (5)是R上的增函数 (5)是R上的减函数 1．y＝xx(x>0)是指数函数．( × ) 2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( × ) 3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．( √ ) 4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.( × ) 类型一 求指数函数的解析式 例1 已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式． 考点 指数函数的解析式 题点 待定系数法求指数函数解析式 解 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π， 即a3＝π，解得于是 反思与感悟 (1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.凡是不符合这个要求的都不是指数函数． (2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． 跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值． 考点 指数函数的解析式 题点 待定系数法求指数函数解析式 解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2. 将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2. 类型二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域 命题角度1 f(ax(型 例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1. 考点 指数型复合函数的值域 题点 指数型复合函数的值域 解 (1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)． ∵y＝＝1－， 又∵3x>0,1＋3x>1， ∴0<<1，∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴值域为(0,1)． (2)定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋， ∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数， ∴值域为. 反思与感悟 解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题． 跟踪训练2 求下列函数的定义域、值域． (1)y＝； (2)y＝(a>0，且a≠1)． 考点 指数型复合函数的值域 题点 指数型复合函数的值域 解 (1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞)． 令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1， ∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R. 方法一 设ax＝t，则t∈(0，＋∞)． y＝＝＝1－. ∵t>0，∴t＋1>1， ∴0<<1，∴－2<<0， ∴－1<1－<1. 即原函数的值域为(－1,1)． 方法二 由y＝(a>0 ... ... 
