第4章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在

§1　函数与方程 1．1　利用函数性质判定方程解的存在 学习目标　1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数． 知识点一　函数的零点概念 思考　函数的“零点”是一个点吗？ 答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标． 梳理　概念：函数y＝f(x)的零点是函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标． 方程、函数、图像之间的关系： 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 知识点二　零点存在性定理 思考　函数零点有时是不易求或求不出来的．如f(x)＝lgx＋x.但函数值易求，如我们可以求出f＝lg＋＝－1＋＝－，f(1)＝lg1＋1＝1. 那么能判断f(x)＝lgx＋x在区间内有零点吗？ 答案　能．因为f(x)＝lgx＋x在区间内是连续的，函数值从－变化到1，势必在内某点处的函数值为0. 梳理　若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．这个结论可称为函数零点的存在性定理． 1．f(x)＝x2的零点是0.(　√　) 2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　×　) 3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　√　) 4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　) 类型一　求函数的零点 例1　函数f(x)＝(lgx)2－lgx的零点为_____． 考点　函数零点的概念 题点　求函数的零点 答案　x＝1或x＝10 解析　由(lgx)2－lgx＝0，得lgx(lgx－1)＝0， ∴lgx＝0或lgx＝1，∴x＝1或x＝10. 反思与感悟　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标． 跟踪训练1　函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是_____． 考点　函数零点的概念 题点　求函数的零点 答案　4 解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 类型二　判断函数的零点所在的区间 例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 考点　函数零点存在性定理 题点　判断函数零点所在的区间 答案　C 解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内． 反思与感悟　在函数图像连续的前提下，f(a)·f(b)<0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点． 跟踪训练2　若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝_____. 考点　函数零点存在性定理 题点　判断函数零点所在的区间 答案　2 解析　∵函数f(x)＝3x－7＋lnx在定义域上是增函数， ∴函数f(x)＝3x－7＋lnx在区间(n，n＋1)上只有一个零点． ∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0， ∴函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(2,3)内， ∴n＝2. 类型三　函数零点个数问题 命题角度1　判断函数零点个数 例3　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 考点　函数的零点与方程根的关系 题点　判断函数零点的个数 解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝ ... ...