知识 一、圆的标准方程 1．圆的标准方程 基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是_____和_____ 标准 方程 圆心为，半径为r的圆的标准方程是_____ 图示 说明 若点在圆上，则点的_____适合方程；反之，若点的坐标适合方程，则点M在_____上 2．圆的标准方程的推导 如图，设圆的圆心坐标为，半径长为r(其中a,b,r都是常数，r>0).设为该圆上任意一点，那么圆心为C的圆就是集合.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)满足的关系式为 ①，①式两边平方，得. 3．点与圆的位置关系 圆C：，其圆心为，半径为，点，设. 位置关系 与的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 二、圆的一般方程 1．圆的一般方程的定义 当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为_____，半径_____. 2．圆的一般方程的推导 把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得.取，得： ①. 把①的左边配方，并把常数项移到右边，得. 当且仅当_____时，方程表示圆，且圆心为_____，半径长为_____； 当时，方程只有实数解，所以它表示一个点_____； 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 3．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系是： 在圆内?_____， 在圆上?_____， 在圆外?_____. 三、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： ①根据题意，选择_____； ②根据条件列出关于或的_____； ③解出或，代入标准方程或一般方程． 四、轨迹和轨迹方程 1．轨迹和轨迹方程的定义 平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程. 2．求轨迹方程的五个步骤 ①_____：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标； ②_____：写出适合条件的点的集合； ③_____：用坐标表示条件，列出方程； ④_____：化方程为最简形式； ⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 知识参考答案： 一、1．圆心 半径 坐标 圆 3． 三、①标准方程或一般方程 ②方程组 四、2．①建系 ②设点 ③列式 ④化简 重点 重点 1．能根据条件写出圆的标准方程； 2．圆的一般方程、用待定系数法求圆的一般方程． 难点 1．求圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系； 2．与圆有关的轨迹问题． 易错 1．忽视圆标准方程的结构致错； 2．忽视圆的一般方程应满足的条件致错． 1．求圆的标准方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【例1】写出下列各圆的标准方程． （1）圆心在原点，半径长为2； （2）圆心是直线与的交点，半径长为． 【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即， ∴圆的标准方程为． 【例2】过点且圆心在直线上的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为， 由已知条件，知，解此方程组，得， 故所求圆的标准方程为． 解法2：设点为圆心， 因为点在直线上，所以可设点的坐标为． 又因为该圆经过两点，所以 所以， 解得．所以． 所以圆心坐标为，半径． 故所求圆的标准方程为． 【名师点睛】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如 ... ...
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