课件22张PPT。3.1.2 空间向量的数乘运算1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向量的意义. 2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,会证明空间三点共线与四点共面问题.1.数乘的定义及运算律 (1)实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa,称为向量的数乘运算. ①λa的长度是|λ||a|. ②λa的方向:当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向. (2)空间向量的数乘运算律 分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb; 结合律:λ(μa)=(λμ)a.名师点拨对空间向量数乘运算的理解 (1)λa是一个向量. (2)λa=0?λ=0或a=0. (3)因为a,b可以平移到同一平面内,所以λa,μb,a+b,λa+μb都在这个平面内,因而平面向量的数乘运算律仍然适用于空间向量.答案:C 【做一做1-2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是CC1的中点,2.共线向量与共面向量 (1)①共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. ②对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.【做一做2-1】 下列说法正确的是( ) A.a(a≠0)与λa方向相同 ? C.直线l的方向向量一定在直线l上 D.平行于同一平面的向量,叫做共面向量 解析:选项A中若λ<0,则λa与a反向; 选项B中,两向量不能作除法; 选项C中,方向向量与直线可能平行,不在同一直线上. 答案:D【做一做2-2】 下列说法正确的是( ) A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 答案:D1.向量共线的充要条件及其应用 剖析(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b,则b∥a;但不具有传递性,即当a∥b,b∥c时,不一定有a∥c. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.题型一题型二题型三题型四空间向量的数乘运算 【例1】 已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求下列各式中x,y的值:分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四向量共线与三点共线问题 题型一题型二题型三题型四反思判断两个向量a,b是否共线,就是寻求是否存在一个非零实数x,使a=xb.要充分运用空间向量的运算法则,结合图形得出a=xb,从而a∥b.而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四三个向量共面与四点共面问题 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思证明共面问题的基本方法 (1)证明两个空间向量共面时,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用共面向量的定义,通过线面平行、直线在平面内等进行证明. (2)证明空间四点P,M,A,B共面时,可以通过以下几种条件进行证明:题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析 易错点 混淆了平面与空间致错题型一题型二题型三题型四错因分析混淆了空间向量与平面向量中的相关结论.从而A,B,C,D四点共面. 答案:B 反思在平面向量中,若a=λb(b≠0),则a与b共线;在空间向量中,若a=λb+μc(b与c不共线),则a,b,c共面. ... ...
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