与中点有关的辅助线 知识点一 中点 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 知识点二 与中点有关的辅助线 秘籍一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 秘籍二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 秘籍三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 秘籍四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 他位置的也要能看出 典例精析 一、构造三角形中位线 ?考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效． 已知：是的中线，是的中线，且，求证：． 【答案】取的中点，连结，易得，，而，故．再证，得． 【练1】如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：． 【答案】如右下图，则取边中点，连结、． 由中位线可得，且．为斜边上的中线，∴． ∴，又∵，即， ∴，∴，∴． 【练2】在中，、分别为、边上的高，，求证：． 【考点】三角形的中位线，30°所对的直角边等于斜边的一半 【答案】取、的中点，连结，∵，∴． 从而得，，，． 又因，故． 【练3】在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且． 【答案】过作交于 ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 故 ∴且． 已知四边形的对角线，、分别是、的中点，连结分别交、于、，求证：． 【答案】设的中点为，连结、， 容易证得，， 从而，， 所以 ． 【练1】已知四边形中，，分别是的中点，交于；交于，和交于点．求证：． 【答案】取中点，连接． ∵ ∴, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【练2】已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、． （1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，求证： （2）当点旋转到图2中的位置时，与有何数量关系？请证明． 【答案】取的中点，连结、 ∵是的中点，是的中点 ∴， ∴ 同理，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 如图，在五边形中，，，为的中点．求证：． 【答案】取中点，中点．连结、、、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，，，， ∴，∵，∴． ∴．同理可证． ∵，∴． ∴， 即，∴，∴． 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、 分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）如图所示，根据题意可知且， 且， 所以． 而、分别是直角三角形、的斜边的中点， 所以，， ... ...
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