第5讲 函数的单调性与最值 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x10,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同. (5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数; (2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数. 3.函数最值的两条结论: (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 题组一 常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是 .? 2.[教材改编] 函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是 ;单调递减区间是 .? 3.[教材改编] 函数f(x)=3x+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于 .? 4.[教材改编] 函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 .? 题组二 常错题 ◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念. 5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 .? 6.已知函数f(x)=(a-2)x,x≥2,12x-1,x<2是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为 .? 7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. ? ? ? ? ? ? ? ? [总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1
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