5.1.2 弧度制 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养． 2．借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养. 1．度量角的两种单位制 (1)角度制： ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 5.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 1．下列转化结果错误的是( ) A．60°化成弧度是 rad B．－π rad化成度是－600° C．－150°化成弧度是－π rad D. rad化成度是15° C [对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.故选C.] 2.是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B [＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．] 3．(1) rad化为角度是_____． (2)105°的弧度数是_____． (1)252° (2) [(1) rad＝°＝252°； (2)105°＝105× rad＝ rad.] 4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是_____． [由已知得S扇＝××22＝.] 角度与弧度的互化与应用 【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为_____． ②将－rad化为角度为_____． (2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． (1)①rad ②－75° [(1)①因为1°＝rad， 所以112°30′＝×112.5 rad＝rad. ②因为1 rad＝°， 所以－rad＝－°＝－75°.] (2)法一(化为弧度)： α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad. 显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ. 法二(化为角度)： β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝×°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故α＜β＜γ＜θ＝φ. 角度制与弧度制互化的关键与方法 ?1?关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键； ?2?方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数； ?3?角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. 1．(1)将－157°30′化成弧度为_____． (2)将－ rad化为度是_____． (1)－π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad. (2)－ rad＝－×°＝－396°.] 2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有_____．(用弧度表示) π，π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当k＝0时，θ＝72°＝π rad； 当k＝1时，θ＝432°＝π rad， 所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.] 用弧度数表示角 【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( ) A. B. C. D. (2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． [思路点拨] (1)→ (2) → (1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)， 所以角α的终边落在直线y＝x上， 所以角α的集合是.] (2)[解] 因为30°＝ rad,210°＝ rad， 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈ ... ...
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