1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．3.1 推出与充分条件、必要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(重点) 2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(易混点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明．(重点、难点) 1.通过充分条件、必要条件、充要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养． 2．通过命题间充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明，提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 1．充分条件与必要条件 (1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件． 这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已． (2)若p?q，但qp，称p是q的充分不必要条件， 若q?p，但pq，称p是q的必要不充分条件． 思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？ [提示] 不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件． 2．充要条件 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价． 思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？ [提示] 是．因为p?q，q?r，所以p?r，所以p是r的充要条件． 1．若α∈R，则“α＝0”是“sin α＜cos α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α＜cos α；而当sin α＜cos α时，－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，故“α＝0”是“sin α＜cos α”的充分不必要条件．] 2．“x>0”是“＞0”成立的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 A [x>0显然能推出＞0，而＞0?|x|＞0?x≠0，不能推出x>0，故选A.] 3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B [由a－c>b－d变形为a－b＞c－d， 因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b， ∴a－c＞b－d?a＞b. 而a>b并不能推出a－c＞b－d. 所以a>b是a－c>b－d的必要不充分条件． 故选B.] 4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B [命题p：(x－1)(y－2)＝0?x＝1或y＝2. 命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2. 由q?p成立，而由pq成立．] 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例1】 (1)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|的”( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (3)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (1)C (2)C (3)C [(1)设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cos θ，若|a·b|＝|a||b|?cos θ＝±1，则向量a，b的夹角θ为0或π，即a∥b为真；若a∥b，则向量a，b的夹角θ为0或π，|a·b|＝|a||b|，所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件．特别地，当向量a或b为零向量时，上述结论也成立．故选C. (2)构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b?f(a)＞f(b)?a|a|＞b|b|.故选C. (3) ... ...
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