3.4.2 基本不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2.会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养. 2.借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养. 基本不等式与最值 已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a＋b一定时，积ab有最大值； (2)积ab一定时，和a＋b有最小值； (3)取等号的条件 . 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( ) A. B．4 C. D．5 C [∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝ ＝＋≥＋2＝ (当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立．) 故y＝＋的最小值为.] 2．若x>0，则x＋的最小值是_____． 2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．] 3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为_____． 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.] 利用基本不等式求最值 【例1】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知00， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1. (2)∵00， ∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝. 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性. 1．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知00)的最小值为9. (2)法一：∵00. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤2＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 法二：∵00. ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，函数取得最大值. 利用基本不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当 即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. 若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． [解] ∵x，y∈R＋， ∴＋＝(x＋2y) ＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝时取等号， 结合x＋2y＝1，得x＝，y＝， ∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18. 1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形． 2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型． 2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( ) A. B. C. D. A [因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0， 所以y＝. 由即解得0＜x＜1. 所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． 故x＋2y的最小值为.] 利用基本不等式解决实际问题 【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ [解] 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 法一：由于2x＋3y≥2＝2， ... ...
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