2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．(重点) 2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程．(重点) 3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值．(难点) 1.借助抛物线标准方程的推导，培养数学运算素养． 2.借助最值问题，提升直观想象与逻辑推理素养. 1．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 思考：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？ (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示] (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上． 1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( ) A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) B [抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．] 2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 C [由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.] 3．抛物线x＝4y2的准线方程是( ) A．y＝ B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ C [由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.] 4．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是_____． x2＝－12y [∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.] 求抛物线的焦点及准线 【例1】 (1)抛物线2y2－3x＝0的焦点坐标是_____，准线方程是_____． (2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为_____，准线方程为_____． (1) x＝－ (2) y＝－ [(1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝x， ∴2p＝，p＝，＝， 焦点坐标是，准线方程是x＝－. (2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝y， 当a>0时，则2p＝，解得p＝，＝，∴焦点坐标是，准线方程是y＝－. 当a<0时，则2p＝－，＝－. ∴焦点坐标是，准线方程是y＝－， 综上，焦点坐标是，准线方程是y＝－.] 求抛物线的焦点及准线步骤 1．把解析式化为抛物线标准方程形式． 2．明确抛物线开口方向． 3．求出抛物线标准方程中p的值． 4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程． 1．求抛物线y＝－mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程． [解] 抛物线y＝－mx2(m>0)的标准方程是x2＝－y. ∵m>0，∴2p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是y＝. 求抛物线的标准方程 【例2】 根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于y轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x－2y－4＝0上． [思路探究] (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程． [解] (1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y. 法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y. (2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8) 的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y. 法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y. 综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y. (3)由得 由得 所以所求抛物 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
