苏教版数学选修2-1（课件39+教案+练习）2.4.2　抛物线的几何性质

2.4.2　抛物线的几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点) 2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点) 3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点) 1.借助抛物线的几何性质，培养数学运算素养． 2.通过直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理素养. 1．抛物线的几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性 质 焦点 F F F F 性 质 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 2．抛物线的焦点弦、通径 抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径． 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y C　[由题意知抛物线方程为x2＝±2py，且＝3，即p＝6，因此抛物线方程为x2＝±12y.] 2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　) A．10　　　B．8　　　C．6　　　D．4 B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.] 3．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为_____． 4　[易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.] 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝_____. 2　[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1. ∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.] 依据性质求抛物线标准方程 【例1】　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_____． (2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为_____． (1)x2＝16y　(2)y2＝4x　[(1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a， ∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y. (2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2. ∴所求抛物线方程为y2＝4x.] 利用抛物线几何性质可以解决的问题 1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决焦点弦问题． 1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为_____． x2＝12y或x2＝－12y　[椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上， ∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.] 与抛物线有关的最值问题 【例2】　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． [思路探究]　本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离． [解]　法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点， 它到直线4x＋3y－8＝0的距离 d＝＝ ＝ ＝＝2＋. ∴当t＝时，d有最小值. 法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切 ... ...