3.1 数系的扩充 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．(重点) 2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点) 3．实部、虚部的概念．(易混点) 通过对复数的学习，培养数学抽象素养. 1．复数的相关概念 (1)虚数单位 我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定： ①i2＝－1； ②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． (2)复数、复数集 ①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C. ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 2．复数的分类与复数相等 (1)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数． (2)复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d. 思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？ [提示] 1．复数i－2的虚部是( ) A．i B．－2 C．1 D．2 C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.] 2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( ) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 A [∵(x＋y)i＝x－1， ∴ ∴x＝1，y＝－1.] 3．①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是_____．(填序号) ③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．] 4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝_____. 2＋i [由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得 故x＋yi＝2＋i.] 复数的相关概念 【例1】 (1)复数z＝4－3i的实部和虚部分别是_____和_____． (2)复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时， ①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数． (3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数． (1)4 －3 [由复数的代数形式及实、虚部的概念知，复数z的实部和虚部分别为4和－3.] (2)[解] ①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数． ②当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数． ③当即m＝2时，z为纯虚数． (3)[解] ①即m＝2， ∴当m＝2时，复数z是实数． ②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． ③由解得m＝－3， ∴当m＝－3时，复数z是纯虚数． 判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． 1．下列命题中是假命题的是_____．(填序号) ①自然数集是非负整数集 ②实数集与复数集的交集为实数集 ③实数集与虚数集的交集是{0} ④纯虚数集与实数集的交集为空集 ③ [复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．] 复数的分类及应用 【例2】 (1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是_____． (2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， ①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数． (1)a>0且a＝±b [要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.] (2)[解] ①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3. ②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3. ③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋ ... ...
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