5.4 函数的应用(Ⅱ) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点) 2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易错点) 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点) 1.通过三种函数模型应用题的学习，培养学生的数学建模素养． 2．借助拟合函数模型的学习，提升数学运算、数据分析核心素养. 1．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐与y轴平行 随x的增大逐渐与x轴平行 随n值的不同而不同 2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax. 1．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( ) A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3 C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4 D [本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1999年总产值为1，则(1＋x)20＝4.] 2．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b
1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.] 指数函数模型的应用 【例1】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人？(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21) [思路探究] 本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得第x年的解析式． [解] (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)． (3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x＝log1.0121.2≈16. 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人． 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用下面的公式y＝N?1＋P?x表示 1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是_____小时． 24 [由题意得解得所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝3×192＝24.] 对数函数模型的应用 【例2】 声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2 ... ... 