（新课标）北师大版数学必修5（课件50+教案+练习）第1章 §2 2.2 等差数列的前n项和

2.2　等差数列的前n项和 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点、难点) 2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点) 3．能够应用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．(易混点) 1.通过等差数列前n项和公式的推导过程培养逻辑推理素养． 2．通过等差数列的前n项和公式的应用提升数学运算素养. 等差数列的前n项和公式 阅读教材P15～P16“例7”以上部分，完成下列问题： (1)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d (2)等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，① Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，② 由①＋②得 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an) n个 ＝n(a1＋an)， 由此得等差数列前n项和公式 Sn＝， 代入通项公式an＝a1＋(n－1)d得 Sn＝na1＋d. (3)等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d整理成关于n的函数可得Sn＝n2＋n. 思考：(1)等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？ [提示]　不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数，它们的常数项都为0. (2)求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？ [提示]　求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用第一个公式；若已知首项、公差和项数，则选用第二个公式． 1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前n项和S10＝(　　) A．－20　　　　　 B．－40 C．－60 D．－80 D　[由公式Sn＝na1＋×d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80.] 2．Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝_____. 　[由题知等差数列的首项a1＝1，末项an＝n.由前n项和公式得Sn＝.] 3．已知等差数列{an}中，a1＝2，a17＝8，则S17＝_____. 85　[S17＝×17×(2＋8)＝85.] 4．已知等差数列{an}中，a1＝1，S8＝64，则d＝_____. 2　[S8＝8×1＋×8×7×d＝64，解得d＝2.] 与Sn有关的基本量的运算 【例1】　在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20.求S10； (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则有，解得所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210， 所以n＝＝14. 等差数列中基本量计算的两个技巧 (1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 1．等差数列中： (1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn； (2)an＝8n＋2，d＝8，求S20； (3)d＝，n＝37，Sn＝629，求a1及an. [解]　(1)由an＝a1＋(n－1)d且a1＝105，d＝7， 得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128， ∴Sn＝＝＝70 336. (2)∵an＝8n＋2，∴a1＝10，又d＝8， ∴S20＝20a1＋×8＝20×10＋10×19×8＝1 720. (3)将d＝，n＝37，Sn＝629代入an＝a1＋(n－1)d， Sn＝，得解得 等差数列前n项和公 式在实际中的应用 【例2】　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪 ... ...