2018-2019学年湖南省衡阳县高二下学期六科联赛数学（文）试题（扫描版）

2019年上学期高二文科数学竞赛试卷答案 1、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分） CDADDA CABBCD 2、填空题（每题5分，满分20分） 13、7 14、34 15、6 16、 3、解答题（本大题共6小题，共70分) 18、解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为 ， ………………………1分 则 …………………3分 解得． …………………4分 （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 ………………………5分 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为： ． …………………………8分 （Ⅲ）列联表: 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 35 40 75 不合格品 15 10 25 合计 50 50 100 …………………10分 则， ……………………………11分 因为 所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． ………12分 19、（1）证明：取的中点，连接，则， 又，所以，…………………………2分 则四边形为平行四边形，所以，…………………………3分 又因为面 所以平面 ……………………………………………5分 （2）因为平面，∴平面， ∴平面平面PCD； 取的中点，连接， 因为平面， ∴. 由即及为的中点，可得为等边三角形， ∴，又，∴，∴， ∴平面平面，………………………7分 ∴平面平面. 所以……………………………………9分 所以. ，∴为直线与所成的角， 由（1）可得，∴，∴， 由，可知， 则.……………………………………………12分 [] 20.(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)， ∴椭圆的方程 ……………4分 (Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线. 由得，. 令得，. ……………6分 联立与，化简得. 设A()，B()，则 …………8分 ∴， …………9分 而原点O到直线的距离 …………10分[] ∴. …………11分 当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离， ∴. 综上所述，的面积为定值6. …………12分 21. 【解析】（Ⅰ）的定义域为R，，…………………1分 当时，在R上恒成立，∴在R上为增函数；……2分 当时，令得，令得，∴的递增区间为，递减区间为；………………………………………4分 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时， 在R上为增函数，不合题意； 当时， 的递增区间为，递减区间为， 又，当时，，∴有两个零点，则，解得；……………………7分 （2）由（Ⅱ）（1），当时，有两个零点，且在上递增， 在上递减，依题意，，不妨设． 要证，即证， 又，所以， 而在上递减，即证，………………………9分 又，即证，（）． 构造函数，……10分 ，∴在单调递增， ∴，从而， ∴，（），命题成立．………………………12分 22.（1）由曲线的参数方程，消去参数， 可得的普通方程为：． 由曲线的极坐标方程得，， ∴曲线的直角坐标方程为．·····5分 （2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为． .......7分 ∵，∴，， ......8分 当时，，即； 当时，，即．∴或．·····10分 23、解：（1）不等式的解集为． .......4分 （2）因为，所以当时，不等式， 即在上恒成立， ......5分 当时，，即， 所以，在恒成立 所以，即 ........7分 当时，即 所以，在恒成立 所以，即 .........9分 综上，a的取值范围是. ........10分 PAGE 2 ... ...