3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养. 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ 思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？ [提示] 若y＝xα，则y′＝αxα－1. 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 1．函数f(x)＝0的导数是( ) A．0 B．1 C．不存在 D．不确定 A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A.] 2．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝( ) A．4 B． C．－4 D．－ D [f′(x)＝－，所以f′(2)＝－＝－，故选D.] 3．求下列函数的导数． (1)(2x)′＝_____；(2)(log3 x)′＝_____； (3)(sin 30°)′＝_____；(4)′＝_____. [答案] (1)2xln 2 (2) (3)0 (4)－ 利用导数公式求函数的导数 【例1】 求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝2sin cos ； (4)y＝logx；(5)y＝3x. [解] (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11. (2)y′＝()′＝(x)′＝x＝x＝. (3)∵y＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝cos x. (4)y′＝(logx)′＝＝－. (5)y′＝(3x)′＝3xln 3. 用导数公式求函数导数的方法 ?1?若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解. ?2?对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 1．求下列函数的导数： (1)y＝5x；(2)y＝－； (3)y＝ln 3；(4)y＝x. [解] (1)y′＝(5x)′＝5xln 5. (2)y′＝－(x－5)′＝5x－6＝. (3)y′＝(ln 3)′＝0. (4)∵y＝x，∴y＝x， ∴y′＝′＝x ＝x＝. 利用导数公式求曲线的切线方程 【例2】 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [思路点拨] 直线PQ的斜率?所求切线的斜率?切点坐标?所求切线方程． [解] 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， 又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝. 所以切点为M. 所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 1．本例中，是否存在与直线PQ垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由． [解] 假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1， 设切点为(x1，y1)，则y′|x＝x1＝2x1， 令2x1＝－1，则x1＝－，y1＝， 切线方程为y－＝－，即4x＋4y＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y＝ln x，试求与直线PQ平行的切线方程． [解] 设切点为(a，b)，因为kPQ＝1， 则由f′(a)＝＝1，得a＝1，故b＝ln 1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： ?1?切点处的导数是切线的斜率； ?2?切点在切线上； ?3?切点又在曲线上这三个条件联立方程解决. 1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 如求y＝1－2sin2 的导数．因为y＝1 ... ...
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