第二节 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． / 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的 图象描述 / 自左向右看图象是逐渐上升的 / 自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间． ?易误提醒 求函数单调区间的两个注意点： (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． ?必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x1，x2∈[a，b]，那么 ①>0?f(x)在[a，b]上是增函数； <0?f(x)在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x)在[a，b]上是减函数． 2．复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数． [自测练习] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1) 2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____． 3．已知函数f(x)＝在R上为增函数，则a的取值范围是( ) A．[－3,0) B．[－3，－2] C．(－∞，－2] D．(－∞，0) 知识点二 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 ?易误提醒 在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． ?必备方法 求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． [自测练习] 4．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( ) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 5．已知函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是( ) A．[0,3] B．[－1,3] C．{0,1,3} D．{－1,0,3} / 考点一 函数单调性的判断|/ / 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 2．判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性． / 给出解析式函数单调性的两种判定方法 1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． 2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)． 考点二 函数的单调区间的求法|/ / / 求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1； (2)y＝log(x2－3x＋2)． / 函数单调区间的四种求法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． ... ...
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