（新课标）人教B版数学辽宁高二上学期专用（课件68+教案+练习）选修2-1 第3章 3.2 3.2.4　二面角及其度量

课时分层作业(四十一)　二面角及其度量 (建议用时：40分钟) [基础达标练] 1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　) A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角 B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角 C．∠DAE是二面角B-PA-C的平面角 D．∠ACB是二面角A-PC-B的平面角 B　[由二面角的定义及三垂线定理，知选B.] 2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A-BC-D的大小为(　　) A．30°　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° C　[如图取BC的中点为E，连接AE、DE， 由题意得AE⊥BC，DE⊥BC， 且AE＝DE＝a，又AD＝a， ∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.] 3．如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　　) A． B． C． D． D　[设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.] 4．已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，则二面角α-l-β的大小为(　　) A．120° B．150° C．30°或150° D．60°或120° C　[设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝＝，所以θ＝30°或150°.] 5．如图所示，P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α-AB-β的大小为(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° D　[不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB交AB于点E，NF⊥AB交AB于点F(图略)，因为∠EPM＝∠FPN＝45°，故PE＝，PF＝，于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的两条与棱AB垂直的线段，所以EM与FN之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB-β的大小为90°.] 6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是_____． 60°或120°　[设二面角大小为θ，由题意可知 cos θ＝＝＝， 所以θ＝60°或120°.] 7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P-BC-A的大小为_____． 90°　[取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°.] 8．在空间四面体O-ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为_____． 0　[·＝·(－) ＝·－· ＝||·||cos－||·||·cos ＝||(||－||)＝0. ∴cos〈·〉＝＝0.] 9．如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，平面ABCD是一个直角梯形，AB⊥AD，AB，CD为梯形的两腰，且AB＝AD＝AA1＝a. (1)若截面ACD1的面积为S，求点D到平面ACD1的距离； (2)当为何值时，平面AB1C⊥平面AB1D1? [解]　(1)由VD-ACD1＝VC-ADD1，过C作CE⊥AD，垂足为E. ∵AA1⊥平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AA1D1D， ∴CE⊥平面AA1D1D， ∴CE＝a是C到平面ADD1的距离， 设点D到平面ACD1的距离为h， 由Sh＝×a2×a，得h＝. (2)分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A1(0，0，0)，A(0，0，a)，B1(a，0，0)， 设C(a，b，a)，且n1＝(x，y，z)是平面AB1C的法向量， ∴＝(a，0，－a)，＝(a，b，0)． 则n1·＝0，n1·＝0，即ax－az＝0，ax＋by＝0， 得z＝x，y＝－x， 取x＝1，则y＝－，z＝1， 则n1＝为平面AB1C的一个法向量． 同理可得平面AB1D1的一个法向量为n2＝(1，1，1)． 若平面AB1C⊥平面AB1D1，则n1·n2＝0，∴＝2， 即当＝2时，平面AB1C⊥平面AB1D1. 10．如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠B ... ...