2.2.2 直线方程的几种形式 学习目标：1.会求直线的点斜式，斜截式，两点式和一般式的方程．(重点)2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3.灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点) 直线方程的几种形式 形式 条件 方程 应用范围 点斜式 直线l上一点P(x0，y0)及斜率k y－y0＝k(x－x0) 直线l的斜率k存在 斜截式 直线l的斜率k及在y轴上的截距b y＝kx＋b 两点式 直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2) ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 直线l不与坐标轴平行或重合 截距式 直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b ＋＝1 直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点 一般式 二元一次方程系数A、B、C的值 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面内任何一条直线 思考：直线的点斜式、斜截式、两点式，截距式方程均能化为一般式方程吗？ [提示] 是． [基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)． ( ) (2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3. ( ) (3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示． ( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． ( ) [提示] (1)√ 由点斜式方程的形式知正确． (2)√ 由斜截式方程的形式知正确． (3)× 两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误． (4)√ 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 B [由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.] 3．根据下列条件，分别写出直线的一般式方程． (1)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7； (2)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (3)过点P(4,2)，且与y轴平行． [解] (1)由条件知直线过点(－7,0)，斜率k＝， ∴所求直线方程为y－0＝[x－(－7)]，∴所求直线的一般式方程为x－2y＋7＝0. (2)由直线的点斜式方程得y－3＝－3(x＋4)， 整理得所求直线的一般式方程为3x＋y＋9＝0. (3)直线过点P(4,2)，且与y轴平行，故斜率不存在，所以直线方程为x＝4，一般式方程为x－4＝0. 求直线的点斜式方程 写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． [思路探究] 先求出直线的斜率，然后由点斜式写方程． [解] (1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知， 直线l的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0， 即y＋1＝0. (4)由题意可知直线的斜率不存在， 所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程． [规律方法] 1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． 2．点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． [跟踪训练] 1．求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． [解] (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3， 由直线方程的 ... ...
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