2.2.3 两条直线的位置关系 学习目标：1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点)3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点) 1．两条直线相交、平行与重合的条件 (1)代数方法判断 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组 的解进行判断(如下表所示) 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或＝≠(A2B2C2≠0) 有唯一解 相交 有一个交点 A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0) 有无数个解 重合 无数个交点 A1＝λA2，B1＝λB2， C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0) (2)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， ①l1与l2相交?k1≠k2； ②l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2. 2．两条直线垂直 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 [基础自测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． ( ) (2)若l1∥l2，则k1＝k2. ( ) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交． ( ) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． ( ) [提示] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( ) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 D [设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直．] 3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝_____. 0 [∵l1∥l2，且k2＝＝－1， ∴k1＝＝－1， ∴m＝0.] 两条直线平行的判定 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2，3)； (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)． [思路点拨] 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行． [解] (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. [规律方法] 1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合． 2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解． [跟踪训练] 1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值． [解] 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意； 当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝， kMN＝＝. 因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN， 即＝， ... ...
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