重点增分专题十四 选修4－5 不等式选讲 (1)不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解． (2)此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用． 含绝对值不等式的解法 保分考点·练后讲评 1.解不等式|x＋3|<|2x－1|. 解：由已知，可得|x＋3|<|2x－1|， 即|x＋3|2<|2x－1|2， ∴3x2－10x－8>0，解得x<－或x>4. 故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)． 2.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ 当x<－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x<－1； 当－1≤x≤2时，显然满足题意； 当x>2时，由－2x＋6≥0，解得2
a?x<－a或x>a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解. 保分考点·练后讲评 1.已知f(x)＝|x－1|＋|x|，且α>1，β>1，f(α)＋f(β)＝2，求证：＋≥. 证明：因为α>1，β>1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2， 所以α＋β＝2. 所以＋＝(α＋β) ＝≥＝， 当且仅当α＝2β＝时取等号． 2.已知函数f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M； (2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)． 解：(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1， ①当x≤－1时， 不等式可化为－x－1＜－2x－2， 解得x＜－1； ②当－1＜x＜－时， 不等式可化为x＋1＜－2x－2， 此时不等式无解； ③当x≥－时， 不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1. 综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}． (2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|， 所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)， 只需证|ab＋1|＞|a＋b|， 即证|ab＋1|2＞|a＋b|2， 即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2， 即证a2b2－a2－b2＋1＞0， 即证(a2－1)(b2－1)＞0. 因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1， 所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立． 3.已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥. 证明：法一：(放缩法)因为a＋b＝1， 所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥22＝[(a＋b)＋4]2＝，当且仅当a＋2＝b＋2，即a＝b＝时，等号成立． 法二：(反证法)假设(a＋2)2＋(b＋2)2<， 则a2＋b2＋4(a＋b)＋8<. 因为a＋b＝1，则b＝1－a，所以a2＋(1－a)2＋12<. 所以2<0，这与2≥0矛盾，故假设不成立．所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥. [解题方略] 证明不等式的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法． (2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的． (3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出 ... ... 