第三节 平面向量的数量积 1．数量积的定义及长度、角度问题 (1)理解数量积的含义及其物理意义． (2)了解向量数量积与向量投影的关系． (3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算． (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直． 2．数量积的综合应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题． 知识点一 平面向量的数量积 1．两个向量的夹角 (1)定义 已知两个非零向量a和b，作O＝a，O＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角． (2)范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积 (1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ.规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. (2)a·b的几何意义 a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． ?易误提醒 1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． 2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量． 3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，而|cos θ|≤1. ?必记结论 两向量a与b的夹角为锐角?cos〈a，b〉>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角?cos〈a，b〉<0，且a与b不共线． [自测练习] 1. 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 2．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( ) A．2 B. C．－2 D．－ 知识点二 数量积的性质及坐标运算 1．向量数量积的性质 (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉． (2)a⊥b?a·b＝0. (3)a·a＝|a|2，|a|＝. (4)cos〈a，b〉＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 2．数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ ?易误提醒 1．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c. 2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． [自测练习] 4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝_____. 5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝ . 考点一 平面向量数量积的运算| 1．(2019·四川模拟)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．(2019·高考山东模拟)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( ) A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2 3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则·＝_____. 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法 ... ...
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