第一节 数列的概念与简单表示法 数列的概念及表示方法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数． 知识点一 数列的概念 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项 间的大小 关系 递增数列 an＋1≥an 其中n∈N＋ 递减数列 an＋1≤an 常数列 an＋1＝an, 摇摆数列 从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 ?易误提醒 1．由前n项写通项、数列的通项并不唯一． 2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． [自测练习] 1．数列{an}：1，－，，－，…，的一个通项公式是( ) A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) B．an＝(－1)n－1(n∈N＋) C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) D．an＝(－1)n－1(n∈N＋) 2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( ) A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项 知识点二 数列与函数关系及递推公式 1．数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． ?必记结论 an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ [自测练习] 3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为( ) A．30 B．31 C．32 D．33 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是_____． 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式| 1．下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．an＝1 B．an＝ C．an＝2－ D．an＝ 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－，，－，，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)； (4)9,99,999,9 999，… . 用观察法求数列的通项公式的两个技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求． (2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 考点二 由an与Sn的关系求通项an| 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b. 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N＋，求{an}的通项公式． 考点三 由递推关系式求数列的通项公式| 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接． 归纳起来常见的探究角度有： 1．形如an＋1＝anf(n)，求an. 2．形如an＋1＝an＋f(n)，求an. 3．形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an. 4．形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an. 探究一 形如an＋1＝anf(n)，求an. 在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)． 探究二 形如an＋1 ... ...
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