【备考2020】高考小题专练之向量问题（一）解析版

中小学教育资源及组卷应用平台 9高三小题专练之向量问题（一） 1.在中，为中点，若，则 _____ 解：为中点 可得： 代入可求出： 答案： 2.若均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 解： ① ①转化为 答案：B 3.已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为(　　) A. B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 设AC、BC边的中点为E、F，则由，得∴点O在中位线EF上． ∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝. 4.如图，在中，，，若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵ ∴ 又，∴ 故选B. 5.平面上的向量满足，且，若，则的最小值为_____ 解： ，代入可得： 答案： 6.已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 解： 答案：A 7.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则等于(　　) A. a－ b B. －a＋b C. －a＋b D. a＋b 【解析】 作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F， 由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝， ∴＝a＋ (b－a) ＝－a＋ b，故选B. 8.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 试题分析：是分别与同向的单位向量，则的终点在的角平分线上，由得在的角平分线上，所以点轨迹一定通过的内心.故选B. 9.在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则( ) A. 是定值，定值为2 B. 是定值，定值为3 C. 是定值，定值为2 D. 是定值，定值为3 【解析】过点作平行于交于点.由可得, 所以,由可得,所以, 因为所以,整理可得.故D正确. 10.如图，在△ABC中，·＝0，＝3，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若＝λ，＝μ (λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是_____． 【解析】＝＋＝＋(－)＝＋. 设＝x＋y (x＋y＝1)， 则＝xλ＋yμ， 则 故λ＋2μ＝ 当且仅当x＝y＝时，等号成立． 11.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是_____. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设∠PAE＝α，则 A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(cosα，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵＝λ＋μ， ∴(cosα，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cosα＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ，∴λ＝(3sin α－cosα)，μ＝ (cosα＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cosα＝sin(α－45°)．∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－≤sin(α－45°)≤，∴－1≤sin(α－45°)≤1.∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]． 12.已知平面向量的夹角，且，若，则的取值范围是_____ 解： 答案： 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...