中小学教育资源及组卷应用平台 9高三小题专练之向量问题（二） 1.已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 解： 答案：D 2.已知向量的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 解：如图可得：，在中，有： 即： 解得或（舍） 所以， 答案：选 3.若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 思路：首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是同向（如图1，此时夹角均为0），则为 ，另一种情况为两两夹角 （如图2），以为突破口，由平行四边形法则作图得到与夹角相等，（底角为的菱形性质），且与反向，进而由图得到，选C 答案：C 已知直角梯形中，∥，为腰上的动点，则的最小值为_____ 思路：所求难以找到其几何特点，所以考虑利用代数手段，在直角梯形中依直角建系，点的纵坐标与梯形的高相关，可设高为，，，则，所以，，即 答案： 5.已知向量，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：先作出，即有向线段，考虑，将的起点与重合，终点绕旋转且，则即为的长度，通过观察可得与共线时达到最值。所以，且连续变化，所以的取值范围是 答案：C 6.如图，在边长为的正三角形中，分别是边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为（ ） B. C. D. 解： 答案：C 7.设是两个非零向量，且，则_____ 思路：可知为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由可知满足条件的只能是底角为，边长 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为 答案： 8.已知与的夹角为，，，且，, 在时取到最小值。当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解： 时，取得最小值 ，所以不等式等价于： 答案：C 9.已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 思路：可知为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在中，，由正弦定理可得：，即 答案：D 10.已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 思路：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为（此时的终点位于点） 答案：A 10.在中，，设是的中点，是所在平面内的一点，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 思路：本题的关键在于确定点的位置，从而将与已知线段找到联系，将考虑变形为，即，设，则三点共线，且，所以由平行四边形性质可得： 答案：B 11.已知中，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的范围是_____ 思路：本题由垂直和模长条件可考虑建系，从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系，设，则，设，则由可得，已知条件，所求模长平方后可得，所以问题转化为已知求的最大值。考虑，，寻找两个式子的联系，有，所以，即，从而，而另一方面：由及（符合直线的方程）可得：，所以（时取等号），所以综上可得： 答案： 12.已知向量，对任意的，恒有，则的值为_____ 思路：本题以作为突破口，通过作图设，为直线上一点，则有。从而可得，即，所以点为直线上到距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为到的垂线段。所以，即，所以有 答案：0 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...
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