2020届高三数学（理）高考一轮复习讲义，习题，补习资料：3.8 正弦定理和余弦定理的应用

第八节　正弦定理和余弦定理的应用 解三角形及其应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 知识点　实际应用中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．方位角的范围是(0°，360°) 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 例： (1)北偏东m°：　(2)南偏西n°： 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan_α 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 ?易误提醒　易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． [自测练习] 1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　) A．北偏东15°　　　　　　 B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10° 2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____m. 3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8n mile.此船的航速是_____n mile/h. 考点一　测量距离问题| 　(2019·济南调研)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 求距离问题的两个注意点 (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 　　 1．如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛． (1)求A、C两岛之间的距离； (2)求∠BAC的正弦值． 考点二　测量高度问题| 　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝_____m. 求解高度问题应注意 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图． (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为(　　) A．10 m B．20 m C．20 m D．40 m 考点三　测量角度问题| 　在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？ 解决测量角度问题的三个注意 ... ...