北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 待定系数法求二次函数的解析式(基础)含答案

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高） 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标. 图1 【答案与解析】 设所求抛物线的解析式为（）. 由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）. 解之，得 抛物线的解析式为 该抛物线的顶点坐标为. 【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围. 2. （2019?丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为　 　． 【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x﹣h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式． 【答案】y=﹣2x2﹣5． 【解析】 解：∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同， 设抛物线的关系式为y=﹣2（x﹣h）2+k， 将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x﹣0）2﹣5，即y=﹣2x2﹣5． ∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5． 【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 3. 已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式. 【答案与解析】 因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6， 所以两交点的横坐标分别为： ，， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法： 解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得， 所以抛物线的函数关系式为； 解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a≠0)， 把（－1，4）代入得， 所以抛物线的函数关系式为：； 【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式. 举一反三： 【变式】（2019?永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　 ． 【答案】y=﹣x2﹣2x+　. 提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+， 将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0， 解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+， ∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+． 类型二、用待定系数法解题 4 ... ...