第十八章 不等式选讲 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|； ②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法. 4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题. 5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用. 7.会用数学归纳法证明贝努利不等式： 本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用. 本章难点：三个正数的算术———几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式. 本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求. 知识网络 / 18.1 绝对值型不等式 典例精析 题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|. (1)解不等式f(x)＞3； (2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝ 所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0； 当1≤x≤2时，f(x)＞3无解； 当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3. 所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1. 因为f(x)＞a恒成立， 所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f(x)＝. (1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|/和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3， 所以－a≤3，即a≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式 【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围. 【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x). 又因为≥＝2，则有2≥f(x). 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤. 【变式训练2】(2019深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是 / . 【解析】(－∞，0)∪{2}. 题型三 利用绝对值不等式/求参数范围 【例3】(2019辽宁质检)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围. 【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3， ①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3， 不等式组的解集为(－∞，－]； ②当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立， 不等式组的解集为?； ③当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3， 不等式组的解集为[，＋∞). 综上得f(x)≥3的解集为(－∞， ... ...
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