人教版高中数学选修2-3知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.4 正态分布

2.4 正态分布 知识 1．正态曲线 我们把函数_____，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． 2．正态分布 随机变量落在区间的概率为_____，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 3．正态曲线的性质 （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线_____对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 4．正态分布的原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大． 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间_____之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 知识参考答案： 1． 2． 3． 4． 重点 重点 正态曲线的性质，与正态分布有关的概率问题 难点 原则的理解及运用 易错 求解概率时对正态曲线的性质理解不透彻从而导致错误 重点 利用正态曲线的对称性求概率 对于正态分布，由直线是正态曲线的对称轴可知： （1）对任意的，有； （2）； （3）． 已知随机变量服从正态分布，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线， 则．故选A． 【名师点睛】利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断． 若随机变量服从正态分布，已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【名师点睛】针对的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式： ①； ②． 难点 由特殊区间求概率 解决此类问题一定要把握服从的随机变量在三个特殊区间的取值概率，将所求概率向，；转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1这些特殊性质． 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重（单位：kg）服从正态分布，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg小于等于62kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知，，故， 从而属于正常情况的人数是．故选D． 难点 利用原则做决策 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为g，，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为g时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？ 【答案】见解析． 【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布，根据原则可知， 产品质量在和之间的概率为， 而质量超出这个范围的概率只有，这是一个几乎不可能出现的事件． 但是 ... ...