第4讲 1 数学归纳法

课件35张PPT。一　数学归纳法第四讲　用数学归纳法证明不等式学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下. 思考1　试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案　①第一辆自行车倒下； ②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.思考2　由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案　适合解决一些与正整数n有关的问题.梳理　数学归纳法的概念及步骤 (1)数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： ①证明当 时命题成立； ②假设当 时命题成立，证明 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N＋，且k≥n0)(2)数学归纳法适用范围 数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明. (3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一　用数学归纳法证明等式(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立.证明反思与感悟　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.证明(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2所以当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.类型二　证明与整除有关的问题例2　求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除.证明证明　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除. (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2). ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除. 即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除. 由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立.反思与感悟　利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.跟踪训练2　用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).证明证明　(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除， 所以结论成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除. 则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3). 因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除， 即当n＝k＋1时结论也成立. 由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立.类型三　用数学归纳法证明几何命题例3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋).证明证明　(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分， 且f(1)＝1－1＋2＝2， 所以n＝1时命题成立. (2)假设n＝k(k≥1)时命题成立， 即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分. 则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的 ... ...