第四章 图形的性质第31节 尺规作图■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图 ■考点2．尺规作图 (1)尺规作图的定义： 在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图． (2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线． (3)尺规作图的步骤： ①已知：写出已知的线段和角，画出图形： ②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化： ③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹： ④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件， ⑤对所作图形下结论． (4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形． (5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆． ■考点1．网格作图 ◇典例： （2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3） （1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1， （2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2， （3）请写出A1、A2的坐标． 【考点】作图﹣轴对称变换，作图﹣平移变换 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案， （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案， （3）利用所画图象得出对应点坐标． 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求， （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求， （3）A1（2，3），A2（﹣2，﹣1）． 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． ◆变式训练 （2019年江苏省淮安市）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A．B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． （1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1， （2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2， （3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积． ■考点2．尺规作图 ◇典例 （2019年广西玉林市）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°． （1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）， （2）求证：△BCD是等腰三角形． 【考点】等腰三角形的判定与性质，作图—复杂作图 【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D， （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形． （1）解：如图，点D为所作， （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°， ∵DA＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BCD是等腰三角形． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质． ◆变式训练 （2019年湖北省咸宁市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF． （1）求证：四边形DEFC是矩形， （2）请用无刻度的直尺在图 ... ...
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