第一章 1.4 1.4.3 A级 基础巩固 一、选择题 1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( B ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B. 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( C ) A．?x∈R，|x|>0 B．?x0∈R，|x0|>0 C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0 [解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C． 3．(2019·江西抚州高二检测)已知命题p：?x∈R，x2＋2x＋2>0，则?p是( C ) A．?x0∈R，x＋2x0＋2<0 B．?x∈R，x2＋2x＋2<0 C．?x0∈R，x＋2x0＋2≤0 D．?x∈R，x2＋2x＋2≤0 [解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C正确． 4．已知命题p：?x0∈R，x0－2>lgx0，命题q：?x∈R，x2≥2，则( C ) A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题 C．命题p∧(?q)是真命题 D．命题p∨(?q)是假命题 [解析] x0＝4时，4－2>lg2，∴p为真命题，∵?x∈R，x2≥2，∴q为假命题，∴p∧(?q)是真命题． 5. 下列说法正确的是( A ) A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件 B．命题“?x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋3>0” C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件 D．命题p：“?x∈R，sin x＋cos x≤”，则?p是真命题 [解析] a>1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sin x＋cos x＝sin (x＋)≤恒成立，∴p为真命题，从而?p为假命题，∴D错误． 6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是( C ) A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根 [解析] ?p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C． 二、填空题 7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是__任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0__. [解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__. [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词． 三、解答题 9．写出下列命题的否定并判断真假： (1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除． [解析] (1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是?p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此?p是真命题． (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． B级 素养提升 一、选择题 1．命题“?n∈N*，f(n)∈N* 且f(n)≤n”的否定形式是( D ) A．?n∈N*, f(n)?N*且f(n)>n B．?n∈N*, f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*, f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*, f(n0)?N*或f(n0)>n0 [解析] 命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n” 其否 ... ...
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