第二章 2.3 A级 基础巩固 一、选择题 1．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A ) A．必须运用假设 B．可以部分地运用假设 C．可不用假设 D．应视情况灵活处理，A，B，C均可 [解析] 由“n＝k时论断成立?n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设． 2．(2019·嘉峪关校级期中)用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( A ) A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k [解析] 假设n＝k时命题成立，即：5k－2k被3整除． 当n＝k＋1时， 5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k ＝5(5k－2k)＋3×2k， 故选A． 3．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( D ) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D． 4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 [解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误． 对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误． 对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D． 5．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( C ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C． 6．(2019·杏花岭区校级期中)等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)( B ) A．n为任何正整数都成立 B．仅当n＝1,2,3时成立 C．当n＝4时成立，n＝5时不成立 D．仅当n＝4时不成立 [解析] 当n＝1时，左边＝1，右边＝1，成立； 当n＝2时，左边＝1＋4＝5，右边＝5，成立； 当n＝3时，左边＝1＋4＋9＝14，右边＝14，成立； 当n＝4时，左边＝1＋4＋9＋16＝30，右边＝28，不成立； 当n＝5时，左边＝1＋4＋9＋16＋25＝55，右边＝47，不成立； 故选B． 二、填空题 7．(2019·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：③(填上所有正确命题的序号) ①n＝11时，该命题一定不成立； ②n＝11时，该命题一定成立； ③n＝1时，该命题一定不成立； ④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立． [解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立， 可得P(n)对n＝9不成立， 同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确． 故答案为③. 8．观察下列等式，照此规律，第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 … [解析] 将原等式变形如下： 1＝1＝12 2＋3＋4＝ ... ...
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