第1章-8-2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案

§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二) 内容要求　1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法(重、难点). 2.理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性(难点)． 知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 递增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 递减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 【预习评价】 (1)函数y＝2sin(2x＋)＋1的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　当2x＋＝2kπ＋时，即x＝kπ＋(k∈Z)时最大值为3. 答案　C (2)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　) A．4π B．2π C．π D. 解析　由题意T＝＝π，故选C. 答案　C 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题 【例1】　求函数y＝sin，x∈的值域． 解　∵0≤x≤，∴0≤2x≤π. ∴≤2x＋≤. ∴－≤sin≤1. ∴－1≤sin≤，即－1≤y≤. ∴函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]． 规律方法　求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤： (1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围； (2)作出y＝sin u(注意u的取值范围)的图像； (3)结合图像求出值域． 【训练1】　求函数y＝2sin的最大值和最小值． 解　∵－≤x≤， ∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1. ∴当sin＝1时，ymax＝2； 当sin＝0时，ymin＝0. 方向1　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期 【例2－1】　求下列函数的周期： (1)y＝sin(x∈R)； (2)y＝sin(x∈R)． 解　(1)T＝＝π. (2)T＝＝4. 方向2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性与对称性 【例2－2】　(1)函数y＝sin的图像的对称轴方程为_____，对称中心为_____． (2)若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　) A. B. C. D．－ 解析　(1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，∴函数y＝sin的图像的对称中心为(k∈Z)． (2)由f(x)＝2sin为偶函数得φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋. ∴当k＝0时φ＝.故选A. 答案　(1)x＝＋(k∈Z)　(k∈Z) (2)A 方向3　函数y＝Asin(ωx＋φ) 单调性 【例2－3】　求函数y＝2sin的递增区间． 解　∵y＝2sin＝－2sin， ∴函数y＝2sin的递增区间就是函数 u＝2sin的递减区间． ∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函数y＝2sin的递增区间为： (k∈Z)． 规律方法　1.关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求φ值． (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z，函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况． 2．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)单调区间的四个步骤 (1)将ω化为正值． (2)根据A的符号确定应代入y＝sin θ的单调增区间，还是单调减区间． (3)将ωx＋φ看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间． (4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间． 题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值． 解　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称， ∴f(x)在x＝0时取得最值．即sin φ＝±1. 依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝. 由f(x)的图像关 ... ...