第3章-3-1 二倍角的三角函数(一)学案

§3　二倍角的三角函数(一) 内容要求　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)． 知识点1　二倍角公式 1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，令β＝α，得sin 2α＝2sin_αcos_α. 2．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，令β＝α，得cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 3．tan(α＋β)＝，令β＝α，得tan 2α＝. 【预习评价】 1．计算1－2sin215°的结果为(　　) A. B. C. D．1 答案　C 2．sin 105°cos 105°的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　B 知识点2　二倍角公式的变形 1．公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos_2α，＝tan 2α. 2．二倍角公式的重要变形———升幂公式和降幂公式 升幂公式： 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2，降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. 【预习评价】 1．已知cos x＝，则cos 2x＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析　cos 2x＝2cos2x－1＝2·－1＝，故选D. 答案　D 2.的值是(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　B 题型一　化简求值 【例1】　求下列各式的值． (1)sincos； (2)1－2sin2750°； (3)； (4)－. 解　(1)原式＝＝＝. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－. (4)原式＝ ＝ ＝ ＝＝4. 规律方法　在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用． 【训练1】　求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)＋. 解　(1)cos 72°cos 36°＝＝＝＝. (2)原式＝＝＝＝＝4. 【例2】　(1)已知sin 2α＝－，α∈，则sin α＋cos α＝(　　) A. B．－ C．－ D. (2)已知sin＝，则sin 2x的值为(　　) A. B. C. D. 解析　(1)∵α∈，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝＝＝.故选A. (2)sin 2x＝cos＝1－2sin2＝1－＝. 答案　(1)A　(2)D 【迁移1】　若(1)中α∈，求sin α＋cos α的值． 解　因为α∈， 所以sin α＋cos α＜0 (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝， 所以sin α＋cos α＝－. 【迁移2】　在(1)中的条件下求tan α的值． 解　因为sin 2α＝2sin αcos α ＝＝－， 故＝－， 解得tan α＝－或－， 因为α∈，tan α＞－1， 故tan α＝－. 规律方法　1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin＝2sin·cos.类似这样的变换还有：cos 2x＝sin＝2sincos， sin 2x＝cos＝2cos2－1. 题型三　三角函数式的化简或证明 【例3】　化简：(1)； (2). 解　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝＝2. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝1. 规律方法　被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简． 【训练2】　化简下列各式： (1)×； (2)； (3)－. 解　(1)原式＝×＝tan 2α. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝＝＝tan 2θ. 课堂达标 1．sin4－cos4等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析　原式＝· ＝－＝－cos ＝－. 答案　B ... ...