10.4 简单线性规划(2)学案

10.4　简单线性规划(二) [学习目标]　1.了解线性规划的意义以及可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题. [知识链接] 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x，y的范围，再分别求出2x及－3y的范围，然后相加得2x－3y的取值范围.由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x，y的取值范围扩大，得出错误的2x－3y的取值范围.如果把1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3看作变量x，y满足的条件，把求2x－3y的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z＝2x－3y的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题. [预习导引] 1.线性规划中的基本概念 名　称 意　义 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 2.目标函数的最值 线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线. 当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值； 当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值. 要点一　求线性目标函数的最值 例1　已知关于x，y的二元一次不等式组 (1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值； (2)求函数z＝x＋2y的最大值和最小值. 解　(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(1)所示. 图(1) 由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小. 解方程组得C(－2,3)， ∴umin＝3×(－2)－3＝－9. 当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大， 解方程组得B(2,1)， ∴umax＝3×2－1＝5. ∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图(2)所示. 图(2) 由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行线. 由图(2)可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z最小，即z最小， 解方程组得A(－2，－3)， ∴zmin＝－2＋2×(－3)＝－8. 当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距z最大，即z最大， ∴zmax＝x＋2y＝4，∴z＝x＋2y的最大值是4，最小值是－8. 规律方法　图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值. 跟踪演练1　若变量x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最大值等于(　　) A.7B.8C.10D.11 答案　C 解析　作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y＝－2x＋z经过点A(4,2)时，z取最大值为10. 要点二　非线性目标函数的最值问题 例2　已知 (1)求z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (2)求z＝的取值范围. 解　(1)作出可行域如图所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9). z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方， 过M作AC的垂线，易知垂足在AC上， 故MN＝＝＝. ∴MN2＝2＝，∴z的最小值为. (2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍， ∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是. 规律方法　非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(的平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等. 常见代数式的几何意义主要有： (1)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离. (2)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率. 这些代数式的几何 ... ...