第9章 习题课 数列求和学案

习题课　数列求和 [学习目标]　1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法． [预习导引] 1．基本求和公式 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 2．an与Sn的关系 数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝ 3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)＝－； (2)＝； (3)＝－. 要点一　分组求和 例1　求和：Sn＝2＋2＋…＋2. 解　当x≠±1时， Sn＝2＋2＋…＋2 ＝＋＋…＋ ＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋ ＝＋＋2n ＝＋2n； 当x＝±1时，Sn＝4n. 综上知，Sn＝ 规律方法　某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪演练1　求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)． 解　当a＝1时，则an＝n， 于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 当a≠1时，an＝＝(1－an)． ∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)] ＝ ＝－. ∴Sn＝ 要点二　错位相减法求和 例2　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设{an}的公差为d，则由已知 得即 解得a1＝3，d＝－1. 故an＝3＋(n－1)(－1)＝4－n. (2)由(1)可得bn＝n·qn－1，于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋(n－1)·qn－2＋n·qn－1. ①若q≠1，将上式两边同乘以q，得： qSn＝1·q1＋2·q2＋3·q3＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 将上面两式相减得： (q－1)Sn＝nqn－(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝nqn－， 于是Sn＝. ②若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 所以，Sn＝ 规律方法　用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和． 跟踪演练2　已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设数列{an}的公比为q， 由题知：2(a3＋2)＝a2＋a4， ∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0. ∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n. (2)bn＝2n·log22n＝n·2n， ∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.① 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.② ①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1. 要点三　裂项相消求和 例3　求和：＋＋＋…＋，n≥2. 解　∵＝＝， ∴原式＝＋…＋  ＝＝－. 规律方法　如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和． 跟踪演练3　求和： 1＋＋＋…＋. 解　∵an＝＝＝2， ∴Sn＝2＝. 要点四　奇偶并项求和 例4　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)． 解　当n为奇数时， Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋ [(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·＋(－2n＋1)＝－n. 当n为偶数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.∴Sn＝(－1)nn (n∈N*)． 跟踪演练4　已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn. 解　n为偶数时，令n＝2k (k∈N*)， Sn＝S2k＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n(3n－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k＋5)＋(6k－2)] ＝3k＝n； 当n为奇数时，令n＝2k＋1 (k∈N*)． Sn＝S2k＋1＝S2k＋a2k＋1＝3k－(6k＋1)＝. ∴Sn＝ 1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　) A．1 B. C. D. ... ...