第4章 函数应用 函数的零点及应用 【例1】 (1)设函数y＝x2与y＝x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)函数f(x)＝x－的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [思路探究] (1)将其转化为函数的零点所在区间的判断． (2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解． (1)B (2)B [(1)由消去y得x2＝x－2 令f(x)＝x2－，则x0是函数y＝f(x)的零点． 又f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0， 由零点存在性定理知，x0∈(1,2)．故选B. (2)因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以y＝f(x)至少有一个零点． 又因为y＝f(x)是增函数， 所以，y＝f(x)有唯一零点，故选B.] 确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断. 1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_____． (0,1) [在同一坐标系中作出 f(x)＝ 及y＝k的图像(如下图)． 可知，当0＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)的图像有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．] 二分法的应用 【例2】 用二分法求的近似值．(精度为0.1) [解] 设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0， 令f(x)＝x2－5. 因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0， 所以f(2.2)·f(2.4)＜0， 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0， 取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29>0. 因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25， f(2.25)＝0.062 5>0. 因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以的近似值可取为2.25. 1．看清题目的精度，它决定着二分的次数． 2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间． 3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大． 4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解． 2．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是( ) A. B． C．(1,2) D．(2，＋∞) B [先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数解时，k的范围为. ] 实际问题的函数建模 [探究问题] 1．图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配： ① ② ③ ④ 情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)； 情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)； 情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润． 其中情境A，B，C，D分别对应的图像是_____．(填序号) 提示：①③④② 2．环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． 问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由． 提示：用h(x)模拟比较合理．理由：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6 ... ...
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